Czy Ziemia mogłaby nie być płaska?

 

(Specjalnie dla SPZ napisał kołobrzeski (g)astronom planetolog dr hab. prof. inż.  Radosław Poleski)

 

 

Wstęp

 

W tej pracy pokażę, że Ziemia nie może nie być płaska. Jest to fakt oczywisty i niezaprzeczalny.

 

Wprowadzenie

 

Wiele osób uważa, że Ziemia nie jest płaska. Twierdzą oni, że starożytni Grecy nie mieli racji. Te same osoby twierdzą, że istnieją góry i doliny, które zaburzają płaskość Ziemi. Nie wiedzą oni, że w czasach kiedy ludzie po raz pierwszy zastanawiali się nad kształtem Ziemi nie było jeszcze tak wysokich szczytów jak Mount Everest (8848 m. n. p. m.). Zgodnie z [1] najwyższa góra w 500 r. p. n. e. miała wysokość około 5000 m. n. p. m. Od tamtych czasów ludzie usypali wiele gór i dokończyli sypanie jeszcze większej ich liczby. Wszystkie te góry usypano z ziemi, a surowiec czerpano z najbliższego płaskiego terenu. Tak powstały góry, oraz wielkie dziury w Ziemi, które geografowie nazywają kotlinami, nizinami, wąwozami, kanionami itp. Teraz nasuwa się nam oczywisty wniosek, że Ziemia owszem jest płaska, ale w odpowiedniej skali.

 

Pojęcie pola powierzchni

 

Czym jest pole powierzchni? Większość osób uważa to pytanie dziwne. Jeszcze więcej osób uzna je za dziwne w momencie, gdy przypomni sobie jaki jest temat niniejszej pracy. Pojęcie pola powierzchni jest potrzebne w dowodzie płaskości Ziemi. Wyobraźmy sobie dowolną dwuwymiarową figurę F ,na przykład taką jak na rysunku 1.

 

Rysunek 1.

 

Zróbmy teraz coś takiego, jak na rysunku 2.

 

 

Rysunek 2.

 

Na rysunku 2. widzimy to samo, co na rysunku 1., ale nałożyliśmy „kratki” o boku r. Oznaczmy przez Nr(F) ilość kwadracików, które przecinają lub są zawarte w F. Zdefiniujmy teraz coś, co matematycy nazywają miarą Jordana:

 

          (1)

 

Uważni czytelnicy dostrzegą, że  jest czymś w rodzaju pola powierzchni (pełną argumentację tej i kolejnych definicji matematycznych można znaleźć w [2]). Nie jest to ścisłe określenie pola powierzchni, dlatego wprowadźmy, które definiujemy następująco:

 

 

          (2)

 

Nasza nowa definicja poprawia minimalnie wartość wyznaczonego przez nas pola powierzchni.

 

Pojęcie wymiaru fraktalnego

 

Nasze rozważania rozpocznijmy od zlogarytmowania równania (2):

 

          (3)

 

Po prostych przekształceniach otrzymujemy następujące równanie:

 

          (4)

 

Obliczamy granicę znajdującą się po prawej stronie równania (4):

 

          (5)

 

Ostatecznie:

          (6)

 

Zauważamy, że dwójka po prawej stronie równania jest tą samą dwójką, którą widzimy w równaniu (3), a tam wzięła się ona z tego, że pole kwadratu jest proporcjonalne do kwadratu długości jego boku. Jeżeli podobne rozważania powtórzymy dla bryły trójwymiarowej, to po prawej stronie równania (6) otrzymamy 3. Powtórzenie obliczeń dla dowolnej powierzchni n-wymiarowej da analogiczny wynik. Powstaje pytanie, jaką liczbą może być n. Odpowiedź jest prosta – rzeczywistą dodatnią!

W ten sposób doszliśmy do definicji wymiaru fraktalnego:

 

Wymiarem fraktalnym figury F nazywam liczbę równą  

 

 

Miara Hausdorfa

 

            Wypełnijmy dowolną figurę F kulami s-wymiarowymi o promieniu mniejszym od . Jeżeli dodamy „obszary” zajmowane przez te kule (dla s=3 te „obszary” to objętości kul, dla s=2 – pola powierzchni) to otrzymaną sumę oznaczymy przez  i nazwiemy miarą Hausdorfa. Wprost z definicji wynikają poniższe twierdzenia:

 

          (7)

 

          (8)

Należy nadmienić, że

 

          (9)

 

Zdefiniujmy sobie teraz s-wymiarową miarę Hausdorfa:

 

          (10)

 

Wymiar Hausdorfa

 

Definicja (9) pozwala na zdefiniowanie wymiaru Hausdorfa oznaczamy go przez s0:

 

          (11)

 

 

Wymiar Hausdorfa i wymiar fraktalny dla Ziemi

 

Spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie:

 

            Ile wymiarów ma powierzchnia Ziemi?

 

Odpowiedź nie jest banalna. Jedyna metoda wyznaczenia tej wartości to dokonanie odpowiednich pomiarów. Problemów jest wiele.

            Omówmy metody pomiaru ilości wymiarów powierzchni Ziemi:

 

1.       Metoda I – pomiar wymiaru fraktalnego:

 

Obieramy dowolny obszar o odpowiedniej wielkości (powiedzmy o powierzchni 100km2). Dzielimy go kratownicą o dowolnej ilości wymiarów. Liczymy ilość krat zajętych przez dany obszar. Korzystamy ze wzoru (6) i dokonujemy odpowiednich obliczeń. Jeżeli wyniki są bezsensowne to powtarzamy doświadczenie dla kratownicy o innej liczbie wymiarów, aż do uzyskania odpowiednich wyników.

 

2.       Metoda II – pomiar wymiaru Hausdorfa

 

Znajdujemy odpowiedni wzorzec kuli s-wymirowej dla dowolnej wartości s (w praktyce wystarczy znaleźć wzorzec kuli o takiej liczbie wymiarów jak powierzchnia Ziemi). Potem robimy odpowiednią liczbę kopii i wypełniamy nimi dowolny obszar (większy od 1m2). Jeżeli wynik jest skończony i różny od zera to znamy wymiar Hausdorfa. Jeżeli nie to doświadczenie powtarzamy dla innej kuli s-wymiarowej, aż do uzyskania odpowiednich wyników.

 

Poza problemami natury czysto technicznej istnieją też inne np. skąd w realnym świecie wziąć te wszystkie limesy. Dotychczasowe pomiary są bardzo zróżnicowane. Wszystkie wyniki są bardzo zbliżone do 2. Większość odrzuca możliwość 3-wymiarowej Ziemi (potwierdzenie w [3]). Ostateczna wartość powstała z uśrednienia wielu pomiarów to 2±0,0000000000000000000000000001. Jest to jedna z najdokładniej wyznaczonych stałych fizycznych.

 

 

 

Literatura:

 

[1]     kroniki greckie

[2]     dowolny podręcznik do geometrii fraktalnej

[3]     zdrowy rozsądek

 

< @ @ @ @ @ @  @ @ @ @ @  @ @ @ @ @  @ @ @ @ @  @ @ @ @ @  @ @ @ @ @  @ @ @ @ @      << STRONA GŁÓWNA >>       @  @ @ @  @ @ @ @ @  @ @ @ @ @  @ @ @ @ @  @ @ @ @ @  @ @ @ @ @   >